第一章       函數(shù)、極限和連續(xù)

§1.1  函數(shù)

一、                主要內(nèi)容

㈠ 函數(shù)的概念

 1. 函數(shù)的定義:   y=f(x),   x∈D

定義域: D(f),     值域: Z(f).

2.分段函數(shù):

3.隱函數(shù):   F(x,y)= 0

4.反函數(shù):   y=f(x) → x=φ(y)=f-1(y)

            y=f-1 (x)

定理:如果函數(shù): y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y

     是嚴格單調(diào)增加(或減少)的；

     則它必定存在反函數(shù)：

y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X

且也是嚴格單調(diào)增加(或減少)的。   

㈡ 函數(shù)的幾何特性

1.函數(shù)的單調(diào)性: y=f(x),x∈D,x1、x2∈D

  當x1＜x2時,若f(x1)≤f(x2),

則稱f(x)在D內(nèi)單調(diào)增加(  )；

若f(x1)≥f(x2),

則稱f(x)在D內(nèi)單調(diào)減少(  )；

    若f(x1)＜f(x2),

則稱f(x)在D內(nèi)嚴格單調(diào)增加(  )；

若f(x1)＞f(x2),

則稱f(x)在D內(nèi)嚴格單調(diào)減少(  )。

 

 2.函數(shù)的奇偶性：D(f)關(guān)于原點對稱

   偶函數(shù)：f(-x)=f(x)

   奇函數(shù)：f(-x)=-f(x)

 

 3.函數(shù)的周期性：

   周期函數(shù)：f(x+T)=f(x), x∈(-∞，+∞)

   周期：T——最小的正數(shù)

 4.函數(shù)的有界性： |f(x)|≤M , x∈(a,b)

 

㈢ 基本初等函數(shù)

1.常數(shù)函數(shù)： y=c ，  (c為常數(shù))

2.冪函數(shù)：   y=xn ,   (n為實數(shù))

3.指數(shù)函數(shù)： y=ax , (a＞0、a≠1)

4.對數(shù)函數(shù)： y=loga x ,(a＞0、a≠1)

5.三角函數(shù)： y=sin x , y=con x

y=tan x , y=cot x

y=sec x , y=csc x

6.反三角函數(shù)：y=arcsin x, y=arccon x

              y=arctan x, y=arccot x

㈣ 復合函數(shù)和初等函數(shù)

1.復合函數(shù)： y=f(u) , u=φ(x)

y=f[φ(x)] ,  x∈X

 

2.初等函數(shù):

  由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算（加、減、乘、除）和復合所構(gòu)成的，并且能用一個數(shù)學式子表示的函數(shù)

（責任編輯：何以笙簫默）